విమానం సమీకరణం: చేయడానికి ఎలా? రకాలు విమానం సమీకరణాలు

విమానం అంతరిక్షంలోకి రకాలుగా (ఒక డాట్ మరియు వెక్టర్, వెక్టర్ మరియు రెండు పాయింట్లు, మూడు పాయింట్లు, మొదలైనవి) లో నిర్వచించవచ్చు. ఈ మనస్సులో తో, విమానం సమీకరణ వివిధ రకాల కలిగి ఉంది. అలాగే కొన్ని పరిస్థితుల్లో విమానం ఉండవచ్చు సమాంతర, లంబంగా కలుస్తున్న, మొదలైనవి ఈ మరియు ఈ వ్యాసంలో చర్చ ఉంటుంది. మేము విమానం మాత్రమే సాధారణ సమీకరణం చేయడానికి నేర్చుకుంటారు.

సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపం

R స్పేస్ _3, ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార నిరూపక వ్యవస్థ XYZ కలిగి ఉంది అనుకుందాం. మేము వెక్టర్ α ముగింపు ద్వారా ప్రారంభ స్థానం O. నుండి విడుదల చేయబడే ఒక వెక్టర్ α, దానికి లంబముగా ఇది విమానం పి డ్రా వివరిస్తాయి.

ఏకపక్ష పాయింట్ Q = (x, y, z) వద్ద పి సూచిస్తాయి. పాయింట్ Q సైన్ లేఖ p యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్. వెక్టర్ పొడవు α p = IαI మరియు Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) సమానం.

వెక్టర్ α గా దిశలో దర్శకత్వం ఇది ఈ యూనిట్ సదిశ. α, β మరియు γ - z వరుసగా వెక్టర్ మరియు అనుకూల దిశల మధ్య ఏర్పడతాయి కోణాల Ʋ స్పేస్ అక్షాలు x, y, ఉన్నాయి. వెక్టర్ QεP Ʋ ఒక పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్ p (p, Ʋ) = p (r≥0) సమానమైన ఇది ఒక స్థిరాంకం.

పైన సమీకరణం ఉన్నప్పుడు p = 0 అర్ధవంతమైన ఉంది. దాని దిశ, ఇది వెక్టర్ Ʋ నిర్ణయించబడుతుంది అర్థం అయితే ఈ సందర్భంలో మాత్రమే n విమానం, పాయింట్ O (α = 0), ఇది మూలం, మరియు యూనిట్ సదిశ Ʋ, పాయింట్ ఓ నుండి విడుదల అధిగమించగలవని, కు P లంబంగా ఉంటుంది సైన్ అప్. మునుపటి సమీకరణ మా విమానం P అంటే, వెక్టర్ రూపంలో వ్యక్తం చేశారు. కానీ దాని ఆర్డినేట్ దృష్టిలో ఉంది:

పి ఆధిక్య లేదా సమాన 0. మేము సాధారణ రూపంలో విమానం సమీకరణ కనుగొన్నారు ఉంది.

సాధారణ సమీకరణం

అక్షాంశాలు లో సమీకరణం సున్నాకి సమానం కాదు అని ఎన్ని గుణిస్తారు ఉంటే, మేము ఈ సమీకరణం సమానమైన చాలా విమానం నిర్వచిస్తుంది పొందటానికి. ఇది క్రింది రూపం ఉంటుంది:

ఇక్కడ, A, B, C - సున్నా భిన్నంగా ఏకకాలంలో సంఖ్య. ఈ సమీకరణం విమానం యొక్క సాధారణ రూపం యొక్క సమీకరణం అంటారు.

విమానాల సమీకరణాలు. ప్రత్యేక సందర్భాలు

సమీకరణం సాధారణంగా అదనపు షరతులు తో సవరించబడతాయి. వాటిలో కొన్ని పరిశీలించండి.

గుణకం ఒక 0. అని ఈ సూచిస్తుంది ఉంటాయని ముందుగా నిర్ణయించిన అక్షం ఆక్స్ విమానం సమాంతర. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం రూపంలో మార్పులు: వు + Cz + D = 0.

అదేవిధంగా, సమీకరణం రూపంలో మరియు క్రింది పరిస్థితులకు మారుతుంది:

• ముందుగా, B = 0 ఉంటే, అక్షం ఓయ్ గా సమాంతరత సూచిస్తుంది యాక్స్ + Cz + D = 0 సమీకరణానికి మార్పులు.
• రెండవది, C = 0 ఉంటే, సమీకరణంలో యాక్స్ + ద్వారా + D = 0 రూపాంతరం చెందింది, ఆ ముందుగా నిర్ణయించిన అక్షం Oz సమాంతరంగా గురించి చెప్పబడినది.
• మూడవది, D = 0 ఉంటే, సమీకరణం యాక్స్ + ద్వారా + Cz = 0, విమానం ఖండించే O (మూలం) అర్థం ఇది కనిపిస్తుంది.
• నాల్గవది, ఉంటే A = B = 0, ఆక్సీ సమాంతరత నిరూపించుకుంటాడని ఇది Cz + D = 0 సమీకరణానికి మార్పులు.
• ఐదవ, B = C = 0 ఉంటే, సమీకరణం యాక్స్ + D = ఇది తలానికి Oyz సమాంతర అని అర్థం 0 అవుతుంది.
• Sixthly, A = C = 0, సమీకరణం రూపంలో వు + D = 0, తీసుకుంటే, అనగా సమాంతరత Oxz నివేదిస్తుంది.

విభాగాలు లో సమీకరణం రూపంలో

సందర్భంలో ఇక్కడ సంఖ్యలు A, B, C, సున్నా నుండి D వివిధ, సమీకరణం రూపంలో (0) క్రింది ఉండవచ్చు:

x / a + y / b + z / c = 1,

ఇందులో ఒక = -D / A, B = -D / B, C = -D / సి

మేము ముక్కలు విమానం ఫలితంగా సమీకరణం వంటి అందుకుంటారు. (0, బి, 0), మరియు ది - - (0,0, లు) ఇది ఈ విమానం అక్షాంశాలు (a, 0,0), ఓయ్ తో సమయంలో x అక్షం ఖండిస్తుంది గమనించాలి.

ఇచ్చిన సమీకరణం x / a + y / b + z / c = 1, అది ఒక సమన్వయం ముందుగా నిర్ణయించిన సిస్టమ్కు ప్లేస్మెంట్ విమానం సాపేక్ష ఆలోచించడం కష్టం కాదు.

సాధారణ వెక్టార్ యొక్క అక్షాంశాలు

విమానం పి సాధారణ వెక్టర్ n విమానం సాధారణ సమీకరణం, అనగా n (A, B, C) గుణకాలు అని అక్షాలు కలిగి.

సాధారణ n యొక్క అక్షాంశాలు గుర్తించడానికి క్రమంలో, ఇది విమానం ఇచ్చిన సాధారణ సమీకరణం తెలుసు సరిపోతుంది.

కలిగిన విభాగాలు లో సమీకరణం ఉపయోగించి చేసినప్పుడు రూపం x / a + y / b + z / c = 1, సాధారణ సమీకరణం ఉపయోగించి ఉన్నప్పుడు వంటి ఏ సాధారణ వెక్టార్ యొక్క అక్షాంశాలు వ్రాయవచ్చు ఇచ్చిన విమానం: (1 / a + 1 / బి + 1 / సి).

ఇది సహాయం సాధారణ వెక్టర్ వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గమనించాలి. అత్యంత సాధారణ సమస్యలు, విమానాలు లేదా విమానాలు మరియు సరళరేఖలు మధ్య కోణాలను మధ్య కోణాలను కనుగొనే పని ప్రూఫ్ లంబంగా లేదా సమాంతరంగా విమానాలను కలిగి ఉంటాయి.

పాయింట్ సాధారణ వెక్టర్ విమానం సమీకరణం మరియు అక్షాంశాలు ప్రకారం టైప్

ఒక సున్నా వెక్టర్ n, ఇచ్చిన తలానికి లంబంగా, ముందుగా నిర్ణయించిన తలానికి సాధారణ (సాధారణ) అని.

సమన్వయం స్పేస్ లో (ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార నిరూపక వ్యవస్థ) ఆ Oxyz సెట్ అనుకుందాం:

• అక్షాలు Mₒ పాయింట్ (hₒ, uₒ, zₒ);
• సున్నా వెక్టర్ n = A * i + B * J + C * k.

మీరు సాధారణ n లంబంగా Mₒ బిందువు ద్వారా వెళ్ళిన విమానం సమీకరణ చేయవలసి.

స్పేస్ లో మేము ఏ అనియత పాయింట్ ఎంచుకోండి మరియు ఎం (x, y, z) సూచిస్తాయి. ప్రతి పాయింట్ M (x, y, z) యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్ లెట్ ఉంటుంది r = x * నేను y * J + z * k, బిందువు Mₒ యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టార్ (uₒ, hₒ, zₒ) + - rₒ = hₒ * i + uₒ * J + zₒ * k. వెక్టర్ MₒM వెక్టర్ n లంబంగా ఉంటే పాయింట్ M, ఇచ్చిన విమానం చెందిన ఉంటుంది. మేము స్కేలార్ ఉత్పత్తి ఉపయోగించి ఆర్తోగోనాలిటి పరిస్థితి వ్రాయండి:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ నుండి, విమానం వెక్టర్ సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

[R - rₒ, n] = 0.

ఈ సమీకరణం కూడా మరొక ఆకారం కలిగి ఉంటుంది. ఈ ప్రయోజనం కోసం, స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క లక్షణాలు, మరియు సమీకరణ ఎడమ వైపు మార్చబడుతుంది. [R - rₒ, n] = [R, n] - [rₒ, n]. ఉంటే [rₒ, n] లు వంటి సూచిస్తారు, మేము కింది సమీకరణం పొందటానికి: [r, n] - ఒక = 0 లేదా [r, n] విమానం చెందిన ఇచ్చిన పాయింట్లు వ్యాసార్థం-వెక్టర్స్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ అంచనాలు నిలకడ వ్యక్తంచేసే = s.

ఇప్పుడు మీరు అక్షం రకం రికార్డింగ్ విమానం మా వెక్టర్ సమీకరణ పొందవచ్చు [r - rₒ, n] = 0. కాబట్టి r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y- uₒ) * J + (z-zₒ) * K, మరియు n = A * i + B * J + C * k, మేము ఉన్నాయి:

ఇది మేము సమీకరణ సాధారణ n లంబంగా పాయింట్ గుండా విమానం ఏర్పడుతుంది ఆ అవుతుంది:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

విమానం సమీకరణం మరియు వెక్టార్ విమానం సహరేఖీయగా రెండు పాయింట్లు యొక్క అక్షాంశాలు ప్రకారం టైప్

మేము రెండు ఏకపక్ష పాయింట్లు M '(x', y ', z') మరియు ఎం "(x", y ", z"), అలాగే వెక్టర్ (ఒక 'ఒక "ఒక ‴) వివరిస్తాయి.

ఇప్పుడు మేము ఇప్పటికే పాయింట్ M 'మరియు M "ద్వారా పోయే సమీకరణ ముందుగా నిర్ణయించిన విమానం, మరియు అక్షాంశాలు M (x, y, z) ఇచ్చిన వెక్టర్ సమాంతరంగా ప్రతి పాయింట్ వ్రాయవచ్చు.

అందువలన M'M వెక్టర్స్ x = {x ', y- y'; ZZ '} మరియు M "M = {x" -x', y 'Y'; z "-z '} రోగకారక coplanar ఉండాలి ఒక = (ఒక 'ఒక "అంటే, ఒక ‴), ఆ (M'M M" M, ఒక) = 0.

కాబట్టి స్పేస్ లో ఒక విమానం మా సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

విమానం సమీకరణం యొక్క రకం, మూడు పాయింట్లు దాటిన

', (X (x, z' Y ')', y ', z') అదే లైన్ చెందిన లేని, (x ‴ Have ‴, z ‴),: లెట్స్ మేము మూడు పాయింట్లు కలిగి చెప్పటానికి. ఇది పేర్కొన్న మూడు పాయింట్లు గుండా విమానం సమీకరణం రాయడానికి అవసరం. జ్యామితి సిద్ధాంతం కేవలం ఒకే వార్తలు, విమానం యొక్క ఈ రకమైన ఉన్నాయి వాదిస్తుంటాడు. ఈ విమానం పాయింట్ పరిచ్ఛేదం చేస్తాయి కనుక (x ', y', z '), దాని సమీకరణం రూపంలో ఉంటుంది:

ఇక్కడ, A, B, మరియు C అదే సమయంలో సున్నా భిన్నంగా ఉంటాయి. అలాగే ఇచ్చిన విమానం రెండు పాయింట్లు పరిచ్ఛేదం (x ", y", z ") మరియు (x ‴, y ‴, z ‴). ఈ కనెక్షన్ లో పరిస్థితులు ఈ రకమైన చేపట్టారు చేయాలి:

ఇప్పుడు మేము ఒక యూనిఫామ్ సిస్టమ్ను సృష్టించవచ్చు సమీకరణలు (సరళ) యొక్క తెలియని u, v, w తో:

మా సందర్భంలో x లో, y లేదా z సమీకరణం (1) సంతృప్తి పరిచే ఏకపక్ష పాయింట్ నిలుస్తుంది. (1) సమీకరణం మరియు సమీకరణలు (2) మరియు (3) పైన చిత్రంలో సూచించిన సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఒక వ్యవస్థ గమనిస్తే, వెక్టర్ సంతృప్తి N (A, B, C) nontrivial ఇది. వ్యవస్థ నిర్ధారకం సున్నా ఎందుకంటే ఇది ఉంది.

ఈక్వేషన్ (1) మేము పొందారు, ఈ విమానం సమీకరణం ఉంది. 3 పాయింట్ ఆమె నిజంగా వెళ్తాడు, మరియు అది తనిఖీ సులభం. ఇది చేయటానికి, మేము మొదటి వరుసగా అంశాలు నిర్ధారకం విస్తరించేందుకు. ఇప్పటికే లక్షణాలు నిర్ధారకం యొక్క (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) మా విమానం ఒకేసారి మూడు వాస్తవానికి ముందుగా నిర్ణయించిన పాయింట్ ఖండించే అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి మేము మాకు ముందు పని నిర్ణయించుకుంది.

విమానాలు మధ్య డిహేడ్రల్ కోణం

డిహెడ్రల్ కోణం ఒక సరళ రేఖ నుండి ఉద్భవించే ఆ రెండు అర్ధ-విమానాలు ఏర్పడిన ఒక ప్రాదేశిక రేఖాగణిత ఆకారం ఉంది. ఇతర మాటలలో, సగం విమానాలను మాత్రమే పరిమితం ఇది స్పేస్ భాగంగా.

మేము ఈ క్రింది సమీకరణలను తో వారిరువురూ విమానంలోకి కలిగి అనుకుందాం:

మేము తెలిసిన వెక్టర్ N = (A, B, C) మరియు N¹ = (A¹, H¹, S¹) ముందుగా నిర్ణయించిన విమానాలు ప్రకారం లంబంగా ఉంటాయి. ఈ విషయంలో, ఈ విమానాలు మధ్య ఉన్న వెక్టర్స్ N మరియు N¹ సమాన కోణం (డిహెడ్రల్) మధ్య φ కోణం. స్కేలార్ ఉత్పత్తి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

సరైన కారణం

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

ఇది 0≤φ≤π పరిగణలోకి తగినంత ఉంది.

ఖండించే నిజానికి రెండు విమానాలు, రూపం ఇద్దరు కోణం (డిహెడ్రల్): φ ₁ మరియు φ _2. వాటి మొత్తం (φ ₁ + φ ₂ = π) ఫై సమానం. వారి కోసైన్ల కొరకు, వారి సంపూర్ణ విలువల సమాన ఉండవచ్చు బాక్స్ సంఖ్య, cos φ ₁ = -cos φ _2, కానీ వారు వివిధ _{చిహ్నాలు.} సమీకరణంలో (0) A, B మరియు -A, -B యొక్క C మరియు -C వరుసగా, సమీకరణం ద్వారా భర్తీ ఉంటే, మేము పొందటానికి, అదే విమానం, కేవలం కోణం సమీకరణ cos φ లో φ నిర్ణయిస్తాయి = NN ¹ / | N || N ¹ | ఇది π-φ భర్తీ చేయనున్నారు.

లంబంగా విమానం సమీకరణ

విమానం లంబంగా పిలవబడిన ఇది మధ్య కోణం 90 డిగ్రీల ఉంది. పైన సమర్పించారు పదార్థం ఉపయోగించి, మేము ఇతర లంబాన్ని ఒక విమానం యొక్క సమీకరణ వెదుక్కోవచ్చు. మేము రెండు తలములు అనుకుందాం: యాక్స్ + ద్వారా + Cz + D = 0, మరియు + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. మేము వారు దానికి ఒకటి ఆర్తోగోనల్ గా చెప్పగలను cos = 0 ఉంటే. ఈ ఆ NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 అర్థం.

ఒక సమాంతర విమానం సమీకరణ

ఇది సాధారణంగా ఏ పాయింట్లు కలిగి ఉన్న రెండు సమాంతర విమానాలు సూచిస్తారు.

పరిస్థితి సమాంతర విమానాల (వారి సమీకరణాలు మునుపటి పేరా వలె ఉంటాయి) అని వెక్టర్స్ N మరియు N¹, వాటిని లంబంగా ఉండే, సహరేఖీయగా. ఈ క్రింది షరతుల అనుపాతం నెరవేర్చిన అర్థం:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

దామాషా పరంగా విస్తరించింది ఉంటే - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ఈ అదే డేటా విమానం సూచిస్తుంది. అంటే సమీకరణం యాక్స్ + ద్వారా + Cz + D = 0 మరియు + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 ఒక విమానం వివరిస్తాయి.

తలానికి పాయింట్ నుండి దూరం

మేము (0) ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది ఒక విమానం P, కలిగి అనుకుందాం. ఇది అక్షాలు పాయింట్ నుండి దూరం కనుగొనేందుకు అవసరం (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. మీరు చేయండి విమానం II సాధారణ లో సమీకరణం తీసుకుని అవసరం:

(Ρ, v) p (r≥0) =.

ఈ సందర్భంలో, ρ (x, y, z) మా పాయింట్ Q, ఎన్ పి ఉన్న వ్యాసార్థం వెక్టర్ - n సున్నా పాయింట్ నుండి విడుదలైన లంబంగా పొడవు ఉంది, V - ఒక దిశలో ఏర్పాటు ఇది యూనిట్ సదిశ, ఉంది.

ఒక పాయింట్ Q = (x, y, z) బేధం ρ-ρº వ్యాసార్థం వెక్టర్, n కు చెందిన మరియు Q = అటువంటి వెక్టర్, ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) ఉంది ప్రొజెక్షన్ యొక్క సంపూర్ణ విలువ ఒక భిందువు యొక్క వ్యాసార్థం వెక్టర్ v Q నుండి కనుగొనేందుకు అవసరం దీనిలో దూరం d, సమానం = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) పేజీ:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, కానీ

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

కాబట్టి దీనిని టర్న్స్

d = | (ρ ^0, v) పేజి |.

ఇప్పుడు అది Q విమానం పి ₀ నుండి దూరం d లెక్కించేందుకు స్పష్టం, అది సాధారణ వీక్షణ విమానం సమీకరణం ఉపయోగించడానికి అవసరం, p ఎడమ షిఫ్ట్, మరియు x, y చివరి స్థానంలో, z ప్రత్యామ్నాయంగా (hₒ, uₒ, zₒ).

అందువలన, మేము అవసరం d అని ఫలితంగా భావవ్యక్తీకరణ సంపూర్ణ విలువ కనుగొనేందుకు.

భాష యొక్క పారామితులు ఉపయోగించి, మేము పొందుటకు స్పష్టమైన:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

పేర్కొనబడిన పాయింట్ Q ₀ వెక్టర్ మధ్య అప్పుడు మూలం విమానం పి ఇతర వైపున ఉంటుంది ρ-ρ ⁰ మరియు v ఉంది , ఒక గురు కోణం ఇలా తెలియచేస్తుంది:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

U అదే వైపు ఉన్న మూలం కలిసి పాయింట్ Q _0, తీవ్రమైన కోణం రూపొందించినవారు ఉన్నప్పుడు సందర్భంలో, ఆ:

d = (ρ-ρ ^0, v) p = - (ρ ^0, v)> 0.

ఫలితం అని మాజీ కేసు (ρ ^0, v)> p, రెండవ లో (ρ ^0, v)

మరియు దాని టాంజెంట్ విమానం సమీకరణ

ఊహించని విధంగా ప్రవర్తించు Mº సమయంలో ఉపరితల విమానం సంబంధించిన - ఉపరితలంపై అప్పటివరకూ ద్వారా గీసిన రేఖ సాధ్యం అన్ని టాంజెంట్ కలిగిన విమానం.

సమీకరణం F (x, y, z) = 0 టాంజెంట్ విమానం టాంజెంట్ పాయింట్ Mº సమీకరణం లో (uº, hº, zº) ఉంటుంది ఈ ఉపరితల కౌశలం:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

ఉపరితల స్పష్టంగా z = f (x, y) సెట్ చేయబడి ఉంటే, అప్పుడు టాంజెంట్ విమానం సమీకరణం ద్వారా వివరిస్తారు:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + F (hº, uº) (y uº).

రెండు విమానాలు ఖండన

లో త్రిమితీయ ప్రదేశం నిరూపక వ్యవస్థ (దీర్ఘచతురస్రాకార) Oxyz, రెండు విమానాలు పి పోలిక మరియు ఏకకాలంలో లేని 'మరియు P' ఆవశ్యకమైనది. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార నిరూపక వ్యవస్థ సాధారణ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన ఇది ఏ విమానం నుంచి, మేము n + B x '+ y' "A = 0 మరియు మరియు n సమీకరణాలు A'x + V'u S'z + + D నిర్వచించబడ్డాయి '" అని ఊహించుకోవటం "z + D" తో = 0. ఈ సందర్భంలో మనం విమానం P 'మరియు సాధారణ n "(A", B "సి") విమానం పి' సాధారణ n '(A', B, C ') కలిగి. మా విమానం సమాంతరంగా లేదు మరియు జరగడంతో లేదు ఉంటాయి, అప్పుడు ఈ వెక్టర్స్ సహరేఖీయగా లేదు. n '≠ n "↔ (A', B, C ') ≠ (λ * మరియు", λ * లో "λ * సి"), λεR: గణితం భాషను ఉపయోగించి, మేము ఈ పరిస్థితి వ్రాయవచ్చు కలిగి. ఖండన పి వద్ద ఉంది, ఇది సరళరేఖలో ' "∩ P మరియు P, ఈ సందర్భంలో ఒక = P లో అక్షరం చే సూచిస్తారు,'" లెట్.

మరియు - ఒక లైన్ పాయింట్లు (సాధారణ) విమానాల పి 'మరియు P "బహుళత్వంకు కలిగి. ఈ లైన్లో చెందిన ఏ పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు, ఏకకాలంలో సమీకరణ A'x + V'u S'z + + D '= 0 మరియు ఒక "x + B' + C y" z + D "= 0 సంతృప్తి ఉండాలి. ఈ పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు క్రింది సమీకరణాల ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం ఉంటుందని అర్థం:

ఫలితంగా ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ పరిష్కారం (మొత్తం) ఖండన పి 'మరియు P "యొక్క స్థానం వలె పని చేస్తుంది లైన్ పాయింట్లు ప్రతి యొక్క అక్షాంశాలు నిర్ణయిస్తుందనేది, మరియు ఒక నిరూపక వ్యవస్థ Oxyz (దీర్ఘచతురస్రాకార) స్పేస్ లో ఒక లైన్ గుర్తించడానికి ఉంది.