లోలకం: కాలం మరియు ఫార్ములా యొక్క త్వరణం

గణిత లోలకం (- ఓసిలేటర్ మరొక పేరు) అన్న (దాని సామూహిక శరీరం యొక్క బరువు పోలిస్తే తక్కువ ఉంటుంది) ఒక ఏకరీతి గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రంలో ఒక నిరోధించే విస్తరించడానికి శక్యం కాని తంతు మీద వేళ్ళాడుతూ ఇది ఒక పదార్థం పాయింట్ (శరీరం) యొక్క కలిగి యాంత్రిక వ్యవస్థ. పరికరాల ఇతర రకాలు ఉన్నాయి. బదులుగా ఒక ఫిల్మెంట్ నిరోధించే కడ్డీ ఉపయోగించవచ్చు. లోలకం స్పష్టంగా అనేక ఆసక్తికరమైన విషయాలను యొక్క సారాంశం బహిర్గతం చేయవచ్చు. దాని చలన తక్కువ డోలన పరిమితి కంపనాలు హార్మోనిక్ చేసినప్పుడు అంటారు.

యాంత్రిక వ్యవస్థ గురించి సాధారణ సమాచారం

లోలకం యొక్క ఊగిసలాట కాలం ఫార్ములా కను డచ్ వారు శాస్త్రవేత్త హుయ్గేన్స్ (1629-1695 GG.). ఐజాక్ న్యూటన్ యొక్క ఈ సమకాలీన యాంత్రిక వ్యవస్థ చాలా ఇష్టం. 1656 లో అతను ఒక లోలకం యంత్రాంగంతో తొలి గడియారాల రూపొందించినవారు. వారు ఆ సమయంలో తీవ్ర ఖచ్చితత్వము సమయం కొలుస్తారు. ఈ ఆవిష్కరణ భౌతిక ప్రయోగాలు మరియు ఆచరణాత్మక చర్యలు అభివృద్ధిలో ప్రధాన అడుగు.

లోలకం ఒక సమతౌల్య స్థానం (నిలువుగా ఉరి) లో ఉంటే, గురుత్వాకర్షణ శక్తి నూలు ఒత్తిడి శక్తి సమతుల్యం ఉంటుంది. ఒక కాని సాగే నూలుతో లో సమతల లోలకం కమ్యూనికేషన్ స్వేచ్ఛ రెండు డిగ్రీలు ముడిపడి ఉంటుంది. అన్ని దాని భాగాలను లక్షణాలు మారుతున్న కేవలం ఒక భాగం మార్చినపుడు. ఉదాహరణకు, ఒక థ్రెడ్ ఒక రాడ్ భర్తీ ఉంటే, అప్పుడు ఈ యాంత్రిక వ్యవస్థ స్వేచ్ఛ మాత్రమే 1 డిగ్రీ. మరైతే, ఒక గణిత లోలకం యొక్క లక్షణాలు? ఈ సాధారణ వ్యవస్థలో, ఒక ఆవర్తన perturbation ప్రభావంతో, గందరగోళం కనిపిస్తుంది. సస్పెన్షన్ పాయింట్ వెళ్ళేటప్పుడు లేదు, మరియు ఒక లోలకం హెచ్చుతగ్గులతో ఆ సందర్భంలో, ఒక కొత్త సమతౌల్య స్థానం ఉంది. అప్ మరియు ఈ యాంత్రిక వ్యవస్థ డౌన్ త్వరితగతి మార్పులను "తలక్రిందులుగా." స్థిరంగా స్థానం పొందితే ఇది కూడా పేరు ఉంది. ఇది Kapitza లోలకం అంటారు.

లోలకం యొక్క లక్షణాలు

లోలకం చాలా ఆసక్తికరమైన లక్షణాలున్నాయి. వాటిని అన్ని బాగా తెలిసిన భౌతిక చట్టాలు ద్వారా మద్దతిస్తోంది. ఏ ఇతర లోలకం డోలనం యొక్క కాలంలో శరీరం యొక్క పరిమాణం మరియు ఆకారం వంటి వివిధ పరిస్థితులలో ఆధారపడి, ఈ పాయింట్ సంబంధించి సస్పెన్షన్ పాయింట్ మరియు గురుత్వ కేంద్రాన్ని, బరువు పంపిణీ మధ్య దూరం. శరీర ఉరి కాలంలో నిర్వచనం చాలా సవాలు ఉంది ఎందుకు అంటే. క్రింద ఇవ్వబడింది, వీటిలో సూత్రం సాధారణ లోలకం, కాలం లెక్కించేందుకు చాలా సులభం. ఈ క్రమాలను గమనించి ఫలితంగా పోలిన యాంత్రిక వ్యవస్థలను అమర్చవచ్చు:

• ఉంటే లోడ్లు ఒక రకాల నుండి సస్పెండ్ లోలకం అదే పొడవు, కొనసాగిస్తూ, డోలనం యొక్క కాలం అదే, వారి బరువు చాలా ఎక్కువ తేడా ఉంటుంది అయితే పొందండి. తత్ఫలితంగా, లోలకం కాలం యొక్క బరువు ఆధారపడి ఉండదు.

• వ్యవస్థ లోలకం తగ్గుముఖం మొదలవుతుంది ఉంటే చాలా పెద్ద కాదు, కానీ వివిధ కోణాలు, ఇదే మారటానికి, కానీ వివిధ విస్తృతి వద్ద ఉంటుంది. సంతులనం యొక్క కేంద్రం నుండి విచలనాలు కాదు వారి రూపంలో చాలా పెద్ద హెచ్చుతగ్గులను హార్మోనిక్ దగ్గరగా ఉంటుంది. అటువంటి లోలకం కాలం ప్రకంపన వ్యాప్తి ఆధారపడి ఉండదు. యాంత్రిక వ్యవస్థ యొక్క ఈ లక్షణాన్ని isochronism (- సమయం "Izosov" - సమాన లో గ్రీకు "chronos") అని పిలుస్తారు.

ఒక సాధారణ లోలకం కాలం

ఈ సంఖ్య డోలనం యొక్క సహజ కాలం సూచిస్తుంది. సంక్లిష్ట సూత్రీకరణ ఉన్నప్పటికీ ప్రక్రియ కూడా చాలా సులభం. నూలు గణిత లోలకం L, మరియు గురుత్వాకర్షణ త్వరణం g పొడవు, ఈ విలువ సమానంగా ఉంటే:

T = 2π√L / g

ఏ విధంగా సహజ డోలనాలను చిన్న కాలంలో లోలకం ద్రవ్యరాశి మరియు ఊగిసలాట వ్యాప్తి ఆధారపడి ఉండదు. ఈ సందర్భంలో, ఒక గణిత లోలకం తగ్గిన పొడవు కదులుతూ.

ఒక గణిత లోలకం డోలనాలు

గణిత లోలకం, హెచ్చుతగ్గులతో ఒక సాధారణ అవకలన సమీకరణం ద్వారా వర్ణించవచ్చు:

x + ω2 పాపం x = 0,

ఇక్కడ x (t) - లింగ ఫంక్షన్ (T సమయం సమతౌల్య తక్కువ స్థానం నుండి విక్షేపం యొక్క ఈ కోణం రేడియన్ల్లో వ్యక్తం); ω - లోలకం (ω = √g / L యొక్క పారామితులు నుండి నిర్ణయించబడుతుంది సానుకూల స్థిరంగా పేరు గ్రా - గురుత్వాకర్షణ త్వరణం, మరియు L - సాధారణ లోలకం (సస్పెన్షన్) పొడవు.

సమతౌల్య స్థానం (హార్మోనిక్ సమీకరణ) క్రింది సమీపంలో చిన్న డోలనాలు ఈక్వేషన్:

x + ω2 పాపం x = 0

లోలకం ఆసిలేటరీ మోషన్

కదిలే sinusoid, చిన్న డోలనాలు చేస్తుంది లోలకం. రెండవ శ్రేణి అవకలన సమీకరణం అన్ని అవసరాలు మరియు ఒక ఉద్యమం యొక్క పారామితులు కలుస్తుంది. మీరు వేగం మరియు తరువాత స్వతంత్ర స్థిరాంకాలు నిశ్చయించుకొని అక్షాంశాలు, సెట్ చేయాలి మార్గం గుర్తించడానికి:

x = ఒక పాపం (θ ₀ + ωt),

ఇక్కడ θ ₀ - ప్రారంభ దశ, ఒక - డోలనం యొక్క వ్యాప్తి, ω - చక్రీయ ఫ్రీక్వెన్సీ చలన సమీకరణాలు నుండి నిర్ణయించబడుతుంది.

లోలకం (పెద్ద విస్తృతి సూత్రం)

ఈ యాంత్రిక వ్యవస్థ, ఒక పెద్ద వ్యాప్తి వారి డోలనాలను నిర్వహించడానికి, అది మరింత క్లిష్టమైన ట్రాఫిక్ చట్టాలకు లోబడి ఉంది. వారు ఒక లోలకం సూత్రం ప్రకారం గణిస్తారు:

పాపం x / 2 = u * sn (ωt / u),

పేరు sn - సైన్ జాకోబి, u కోసం <ఎవరు 1 ఒక ఆవర్తన ఫంక్షన్ ఉంది, మరియు చిన్న u కోసం అది సాధారణ త్రికోణమితి సైన్ సమానంగా ఉంది. u యొక్క విలువ క్రింది వ్యక్తీకరణ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

పేరు ε = E / mL2 (mL2 - లోలకం శక్తి).

కింది సూత్రం ద్వారా లోలకం విరళ డోలనం కాలం సంకల్పం:

T = 2π / Ω,

పేరు Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - దీర్ఘవృత్తాకార సమగ్ర, π - 3,14.

separatrix యొక్క లోలకం ఉద్యమం

ఇది డైనమిక్ వ్యవస్థ, ద్విమితీయ ఫేజ్ స్పేస్ దీనిలో separatrix పథం అని. లోలకం ఒక కాని క్రమానుగతంగా సంచరించును. సమయం అనంతమైన దూరం పాయింట్ లో ఇది ఒక సున్నా వేగం వైపు తీవ్ర ఎగువ స్థానం నుండి పడిపోతుంది, మరియు అప్పుడు అది క్రమంగా ఆదరణ పెరుగుతోంది. అతను చివరికి దాని అసలు స్థానం తిరిగి ఆగిపోయింది.

లోలకం డోలనం యొక్క వ్యాప్తి సంఖ్య పై సంప్రదించినా, ఇది దశలో విమానం చలనం separatrix దగ్గరగా ఉందని చెబుతారు. ఈ సందర్భంలో, యాంత్రిక వ్యవస్థలో ఒక చిన్న క్రమానుగత శక్తిగా చర్య కింద అస్తవ్యస్తమైన ప్రవర్తన ప్రదర్శిస్తుంది.

ఒక కోణంలో cp తో సమతౌల్య స్థానం నుండి ఒక సాధారణ లోలకం ఘటనలో అడ్డగా శక్తిగా Fτ = -mg పాపం φ గురుత్వాకర్షణ ఏర్పడుతుంది. "మైనస్" సైన్ అడ్డగా భాగం లోలకం విచలనం యొక్క దిశలో నుండి వ్యతిరేక దిశలో దర్శకత్వం అర్థం. వ్యాసార్థంలో L తో ఒక వృత్తాకార ఆర్క్ పాటు x లోలకం స్థానభ్రంశం ద్వారా తెలిపేటప్పుడు దాని కోణీయ స్థానభ్రంశం φ = x / ఎల్ సమానం రెండో సూత్రం Isaaka Nyutona, త్వరణం సదిశ మరియు బలం కావలసిన విలువ ఇవ్వాలని ప్రొజెక్షన్ కోసం రూపొందించిన:

mg τ = Fτ = -mg పాపం x / L

ఈ నిష్పత్తి ఆధారంగా, ఇది స్పష్టంగా ఉంది లోలకం ఒక విరళ వ్యవస్థ, దాని సమతౌల్య స్థానం తిరిగి ఉంటుంది ఒక శక్తిగా, ఎల్లప్పుడూ స్థానభ్రంశం x, ఒక పాపం x / ఎల్ నిష్పత్తిలో ఉంటుంది అని

గణిత లోలకం చిన్న కంపనాలు అమలు మాత్రమే, అది ఒక హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ ఉంది. ఇతర మాటలలో, ఇది హార్మోనిక్ డోలనాలను చేస్తూ సామర్ధ్యం ఒక యాంత్రిక వ్యవస్థ అవుతుంది. దాదాపు 15-20 ° కోణాలకు ఈ అంచనాను చెల్లదు. పెద్ద డోలన పరిమితులతో లోలకం శ్రావ్యంగా కాదు.

ఒక లోలకం యొక్క చిన్న డోలనాలు న్యూటన్స్ చట్టం

మెకానికల్ వ్యవస్థ చిన్న డోలనాలు ఆడితే, 2 వ న్యూటన్ చట్టం ఇలా కనిపిస్తుంది:

mg τ = Fτ = -m * గ్రా / L * x.

ఈ ఆధారంగా, మేము ఒక సాధారణ లోలకం అడ్డగా త్వరణం సైన్ "మైనస్" తో దాని స్థానభ్రంశం నిష్పత్తిలో అని ముగించారు చేయవచ్చు. ఈ అనగా వ్యవస్థ ఒక మధురమైన ఓసిలేటర్ అవుతుంది ఒక స్థితి. స్థానభ్రంశం మరియు త్వరణం మధ్య మాడ్యూల్ అనుపాతం అంశం కోణీయ ఫ్రీక్వెన్సీ చదరపు సమానం:

ω02 = గ్రా / ఎల్; ω0 = √ గ్రా / ఎల్

ఈ సూత్రం లోలకం యొక్క ఈ రకం యొక్క చిన్న డోలనాలు సహజ ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిబింబిస్తుంది. ఈ ఆధారంగా,

T = 2π / ω0 = 2π√ గ్రా / ఎల్

గణాంకాలు శక్తి పరిరక్షణ చట్టం ఆధారంగా

లోలకం ఉద్యమాలు డోలనం గుణాలు శక్తి పరిరక్షణ చట్టం సహాయంతో వర్ణించవచ్చు. ఇది మనస్సులో పుడుతుంటాయి చేయాలి స్థితిజ శక్తి గురుత్వ రంగంలో లోలకం ఉంది:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

పూర్తి యాంత్రిక శక్తిని గతి మరియు గరిష్ట సంభావ్య సమానం: Epmax = Ekmsx = E

మీరు సమీకరణం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల ఉత్పన్న తీసుకొని శక్తి పరిరక్షణ చట్టం, రాసిన తరువాత:

భా + ఏక్ = కాన్స్ట్

స్థిరాంకాలు ఉత్పన్న 0 సమానంగా కనుక, అప్పుడు (Ep + ఏక్) '= 0. మొత్తం ఉత్పన్న ఉత్పన్నాలు మొత్తం సమానం:

భా '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + ఏక్' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

అందువలన:

Mg / L * XV + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

గత సూత్రం ఆధారంగా, మేము కనుగొనేందుకు: α = - గ్రా / L * x.

గణిత లోలకం ప్రాక్టికల్ అప్లికేషన్

త్వరణం ఉచిత పతనం గ్రహం చుట్టూ క్రస్ట్ యొక్క సాంద్రత ఒకేలా ఎందుకంటే కాదు అక్షాంశానికి మారుతుంది. రాళ్ళు అధిక సాంద్రత ఏర్పడతాయి, కాస్త ఎక్కువగా ఉంటుంది. గణిత లోలకం యొక్క త్వరణం తరచూ అన్వేషణకు ఉపయోగిస్తారు. వివిధ ఖనిజాలను దాని సహాయంతో లుక్ లో. కేవలం ఒక లోలకం డోలనాలను సంఖ్యపై, ఇది భూమి యొక్క bowels లో బొగ్గు ధాతువు గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది. ఈ ఈ వనరులను కదిలే రాళ్లు కింద పడి కన్నా ఎక్కువ సాంద్రత మరియు బరువు కలిగి వాస్తవం కారణంగా ఉంది.

గణిత లోలకం సోక్రటీస్, అరిస్టాటిల్, ప్లేటో, ప్లూటార్క్, ఆర్కిమెడిస్ వంటి ప్రముఖ పండితులు ఉపయోగించారు. వాటిని చాలా యాంత్రిక వ్యవస్థ విధి మరియు జీవితం ప్రభావితం చేసే నమ్మకం. ఆర్కిమెడిస్ తన లెక్కల గణిత లోలకం ఉపయోగిస్తారు. ఈ రోజుల్లో, అనేక తాంత్రికుల మరియు మానసిక దాని భవిష్యద్వాక్యాలను యొక్క అమలు, లేదా గల్లంతయ్యారు కోసం శోధన కోసం ఈ యాంత్రిక వ్యవస్థ ఉపయోగించండి.

ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు శాస్త్రవేత్త, వారి పరిశోధన కోసం ఫ్లామోరియన్ కూడా ఒక గణిత లోలకం ఉపయోగిస్తారు. అతను అతని సహాయంతో అతను ఒక కొత్త గ్రహం యొక్క ఆవిష్కరణ, తుంగుస్క ఉల్కలు ఆవిర్భావం, మరియు ఇతర ముఖ్యమైన సంఘటనలు అంచనా చేయగలిగింది పేర్కొన్నారు. జర్మనీ లో రెండవ ప్రపంచ యుద్ధం (బెర్లిన్) సమయంలో లోలకం ఒక ప్రత్యేక సంస్థ వలె పనిచేసింది. ఈ రోజుల్లో, పరిశోధన మనస్సుకు సంబంధించిన అందుబాటులో మ్యూనిచ్ ఇన్స్టిట్యూట్ కాదు. "Radiesteziey" అని ఈ సంస్థ యొక్క సిబ్బంది లోలకం అతని పని.