ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం. ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సిద్ధాంతం మీద

త్రిభుజం మూడు వైపులా (మూడు కోణాలు) కలిగి ఒక బహుభుజి ఉంది. చాలా తరచుగా, భాగం సరసన శీర్షాల సూచించే పెద్ద అక్షరాలతో, సంబంధిత చిన్న అక్షరాలు ద్వారా సూచిస్తారు. ఈ వ్యాసం లో మేము ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తానికి సమానం ఏమి నిర్వచిస్తుంది రేఖాగణిత ఆకారాలు, సిద్ధాంతం, ఈ రకమైన పరిశీలించి.

రకాలు అతిపెద్ద కోణాలు

మూడు శీర్షాల తో బహుభుజి క్రింది రకాల:

• అణ్వస్త్ర కోణ అన్ని కోణాల పదునైన ఉన్నాయి దీనిలో;
• దీర్ఘచతురస్రాకార ఒక లంబ కోణం కలిగి, అది ఏర్పాటు వైపు, కాళ్లు సూచిస్తారు, మరియు కుడి కోణం వ్యతిరేక పారవేయాల్సి ఆ వైపు కర్ణం అంటారు;
• గురు ఉన్నప్పుడు ఒక కోణం గురు ఉంది ;
• దీని రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి, మరియు వారు పార్శ్వ అంటారు, మరియు మూడవ సమద్విబాహు, - ఒక బేస్ తో ఒక త్రిభుజం;
• సమబాహు మూడు సమాన వైపులా కలిగి.

లక్షణాలు

త్రిభుజం యొక్క ప్రతి రకం లక్షణం అని ప్రాథమిక లక్షణాలు పంపకాలు

• వ్యతిరేక గొప్ప వైపు ఎల్లప్పుడూ ఎక్కువ కోణం, మరియు ఇదే విధంగా విరుద్ధంగా ఉంది;
• సమానమయిన అతిపెద్ద పార్టీ వ్యతిరేక సమాన కోణాల, మరియు ఇదే విధంగా విరుద్ధంగా ఉన్నాయి;
• ఏదైనా త్రిభుజంలో రెండు లఘు కోణాలు ఉన్నాయి;
• బాహ్య కోణం ఏదైనా అంతర్గత కోణం ప్రక్కన లేదు దేవిని కంటే ఎక్కువ;
• ఏ రెండు కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కంటే తక్కువ 180 డిగ్రీల;
• వెలుపలి కోణం అతనితో mezhuyut కాని ఇతర రెండు మూలల, మొత్తం సమానం.

ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సిద్ధాంతం మీద

సిద్ధాంతం మీరు యూక్లీడియన్ చదరం లో ఉన్న రేఖాగణిత ఆకారం, అన్ని మూలలు వరకు జోడించవచ్చు, అప్పుడు వాటి మొత్తం 180 డిగ్రీల చెప్తాడు. ఈ సిద్ధాంతం నిరూపించడానికి ప్రయత్నించండి లెట్.

మేము శీర్షాల KMN తో ఏకపక్ష త్రికోణమితి లెట్. M పైన నొక్కి అంతటా లైన్ ప్రత్యక్ష సమాంతరంగా కెఎన్ (కూడా ఈ లైన్ యూక్లిడ్ అని అంటారు). పాయింట్లు K మరియు ఒక లైన్ MN వివిధ వైపులా నుండి ఏర్పాటు చేసే విధంగా ఇది గమనించాలి చోటికి చేయాలి. మేము, అంతర్గత వంటి, సమాంతర ఇవి ప్రత్యక్ష CN మరియు MA, కలిసి MN కలుస్తున్న ఏర్పాటు crosswise ఉంటాయి AMS మరియు MUF, అదే కోణం పొందండి. ఈ నుండి M మరియు N యొక్క శీర్షాల వద్ద ఉన్న త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం CMA కోణం పరిమాణాన్ని సమానంగా ఉంటుంది అనుసరిస్తుంది. మూడు కోణాల KMA మరియు MC కోణాల మొత్తాన్ని సమానంగా ఒక మొత్తంగా ఉంటాయి. డేటా కలుస్తున్న అంతర్గత కోణాల సాపేక్ష ద్విపార్శ్వ సమాంతర రేఖలు CL మరియు CM MA ఉంటాయి కనుక, వాటి మొత్తం 180 డిగ్రీల ఉంది. ఈ సిద్ధాంతం నిరూపిస్తుంది.

ఫలితంగా

పైన సిద్ధాంతం పైన క్రింది పరిణామం సూచిస్తుంది: ప్రతి త్రిభుజం రెండు లఘు కోణాలు ఉన్నాయి. ఈ నిరూపించడానికి, మాకు ఈ జ్యామితీయ ఫిగర్ మాత్రమే ఒక తీవ్రమైన కోణం ఉంది ఊహించుకోవటం తెలియజేయండి. మీరు కూడా మూలలు ఎవరూ పదునైన కాదు ఊహించుకుని. ఈ సందర్భంలో అది సమానంగా లేదా 90 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువగా పరిమాణం కనీసం రెండు కోణాలు, ఉండాలి. కానీ అప్పుడు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువ. కానీ ఈ, కాదు ఒక త్రిభుజం యొక్క సిద్ధాంతం మొత్తం కోణాలు ప్రకారం 180 ° సమానం చేయవచ్చు - తక్కువ, ఎక్కువ. ఆ రుజువైనప్పుడు వచ్చింది ఏమిటి.

ఆస్తి బయట మూలలు

బాహ్య ఇవి ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల, మొత్తానికి? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం రెండు మార్గాల్లో ఒక అమలు చేయడం ద్వారా పొందవచ్చు. మొదట మీరు ప్రతి శీర్షం వద్ద ఒకటి, ఆ, మూడు కోణాల తీసుకుంటారు ఇవి కోణాలు, మొత్తం కనుగొనేందుకు అవసరం ఉంది. రెండవ మీరు శీర్షాల ఆరు కోణాల మొత్తం కనుగొనేందుకు అవసరం సూచిస్తుంది. మొదటి అవతారం ప్రారంభంలో ఎదుర్కోవటానికి. వారిద్దరూ ఎగువన - అందువలన, త్రిభుజం ఆరు బయటి మూలల్లో కలిగి. వారు నిలువు ఎందుకంటే ప్రతి జంట, తాము మధ్య సమాన కోణాల ఉంది:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

అదనంగా, అది ఒక త్రిభుజం యొక్క బయటి మూలలో అతనితో mezhuyutsya కాదు రెండు అంతర్గత, మొత్తం సమానం అని. అందువలన,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

ఈ నుండి ప్రతి శీర్షం సమీపంలో ఒకరి తీసుకుంటారు ఇవి బాహ్య కోణాల, మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుందని కనిపిస్తుంది:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు సమానం వాస్తవం, ఆ ∟A + ∟V ∟S = + 180 ° వాదించవచ్చు. ఈ ఆ ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 ° అర్థం. రెండవ ఎంపికను ఉపయోగిస్తారు, ఆరో కోణాల మొత్తం రెండు సార్లు తదనుగుణంగా ఎక్కువ ఉంటుంది. ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం అంటే బయట ఉంటుంది:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

లంబ కోణ త్రిభుజం

ఏం ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం కోణాల మొత్తాన్ని సమానం, ద్వీపం? సమాధానం ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల 180 డిగ్రీల వరకు జోడించవచ్చు ప్రకటించినప్పటికీ సిద్దాంతం, నుండి, మళ్ళీ, ఉంది. ఒక ధ్వని మా ప్రకటన (ఆస్తి) క్రింది: ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం పదునైన కోణాల 90 డిగ్రీల వరకు జోడించవచ్చు లో. మేము దాని కచ్చితత్వాన్ని రుజువు. అక్కడ ఇచ్చిన త్రిభుజం KMN, ఇది ∟N = 90 ° భావించండి. ఇది ∟K ∟M = + 90 ° నిరూపించడానికి అవసరం.

అందువలన, కోణాలు ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° మొత్తం సిద్ధాంతం మీద ప్రకారం. ఈ స్థితిలో దానిని ∟N 90 ° = చెబుతారు. ఇది ∟K ∟M + + 90 ° = 180 ° అవుతుంది. 90 ° = 90 ° - ఆ ∟K ∟M + = 180 °. ఆ మేము నిరూపించడానికి తప్పక వార్తలు.

ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం పైన లక్షణాలు పాటు, మీరు ఈ జోడించవచ్చు:

• కాళ్లు వ్యతిరేకంగా ఉంటాయి ఇది పదునైన కోణాల;
• కాళ్లు ఏ కంటే ఎక్కువ ముక్కోణపు యొక్క కర్ణం;
• కర్ణం కంటే కాళ్లు మొత్తం;
• 30 డిగ్రీల కోణం వ్యతిరేక ఉండే త్రిభుజం యొక్క లెగ్, కర్ణం యొక్క సగం, దాని సగం సమానం.

రేఖాగణిత ఆకారం మరొక ఆస్తి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం వేరు చేయవచ్చు. ఆమె 90 డిగ్రీల (దీర్ఘచతురస్రాకార) కోణంలో ఒక త్రిభుజంలో, భుజాల వర్గం మొత్తం కర్ణం యొక్క చదరపు సమానం అని వాదించాడు.

ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం కోణాల మొత్తాన్ని

గతంలో మేము ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం రెండు సమాన వైపులా కలిగిన మూడు శీర్షాల ఒక బహుభుజి, అని చెప్పారు. ఈ ఆస్తి అంటారు జ్యామితీయ ఫిగర్: దాని బేస్ వద్ద కోణాలు సమానంగా. మాకు ఈ నిరూపించడానికి లెట్.

దాని బేస్ - త్రిభుజం KMN, ఇది సమద్విబాహు, SC ఉంది తీసుకోండి. మేము ఆ ∟K = ∟N నిరూపించడానికి అవసరం. కాబట్టి, మాకు ఆ MA ఊహించుకోవటం తెలియజేయండి - KMN మన త్రిభుజం యొక్క సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది. సమానత్వం మొదటి సంకేతం ICA త్రిభుజం త్రిభుజం MNA ఉంది. అవి, పరికల్పన ఇచ్చిన CM = NM, MA, ఒక సాధారణ సైడ్ అని ∟1 = ∟2 ఎందుకంటే MA - ఈ సమద్విఖండన రేఖ. ఇక్కడ రెండు త్రికోణాల యొక్క సమానత్వం ఉపయోగించి, ఒక ∟K = ∟N వాదిస్తారు. అందువల్ల, సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

కానీ మేము ఆసక్తి ఒక త్రిభుజం (సమద్విబాహు) కోణాల మొత్తాన్ని ఏమిటి. ఈ విషయంలో అది దాని లక్షణాలను కలిగి లేదు ఎందుకంటే, మేము ముందు చర్చించినట్లు సిద్ధాంతం నుండి ప్రారంభమౌతుంది. మేము చెప్పగలను, అని ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, లేదా 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (∟K = ∟N వంటి). ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సిద్ధాంతం మీద ముందు తేలిపోయింది ఈ ఆస్తి నిరూపించడానికి కాదు.

ఒక త్రిభుజం యొక్క మూలలో భావిస్తారు లక్షణాలు తప్ప, అలాంటి ముఖ్యమైన ప్రకటనలు ఉన్నాయి:

• లో ఒక సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు, బేస్ తగ్గించింది జరిగింది ఇది ఏకకాలంలో సమాన వైపులా మరియు మధ్య కోణం సగటు సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది సమరూప అక్షం దాని బేస్;
• మధ్యస్థ (సమద్విఖండన రేఖ, ఎత్తు), ఒక రేఖాగణిత ఫిగర్ వైపులా జరిగే సమానంగా ఉంటాయి.

సమబాహు త్రిభుజం

అది కూడా సరైన అంటారు, అన్ని పార్టీలకు సమానంగా ఉంటాయి త్రిభుజం, ఉంది. మరియు అందుచే సమాన మరియు కోణాలు. వాటిని ప్రతి 60 డిగ్రీల ఉంది. మాకు ఈ ప్రాపర్టీ నిరూపించడానికి లెట్.

మాకు మేము ఒక త్రిభుజం KMN భావిస్తాయి లెట్. మేము ఆ KM = HM = KH తెలుసు. ఈ ఒక సమబాహు త్రిభుజం ∟K = ∟M = ∟N బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాల ఆస్తిని అనుసరించి, అర్థం. ఒక త్రిభుజం సిద్ధాంతం ∟K + ∟M ∟N కోణాల మొత్తాన్ని ప్రకారం, నుండి + = 180 °, అప్పుడు x 3 = 180 ° ∟K లేదా ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. అందువలన, ద్రుడత్వం నిరూపించబడింది. పైన సిద్దాంతం మీద ఆధారపడి పైన సాక్ష్యం నుంచి చూసిన విధంగా, కోణాల మొత్తం ఒక సమబాహు త్రిభుజం, ఏ ఇతర త్రిభుజం కోణాల మొత్తాన్ని వంటి 180 డిగ్రీల ఉంది. మళ్ళీ ఈ సిద్ధాంతం రుజువు అవసరం లేదు.

ఇప్పటికీ ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క లక్షణం కొన్ని లక్షణాలు ఉన్నాయి:

• జ్యామితీయ చిత్రంలో సగటు సమద్విఖండన రేఖ ఎత్తు ఒకేలా, మరియు వాటి నిడివి (ఒక x √3) లెక్కిస్తారు: 2;
• ఈ పాలిగాన్ సర్కిల్ చుట్టూ ఉన్న ఉంటే, అప్పుడు వ్యాసార్థం (ఒక x √3) సమానంగా ఉంటుంది: 3;
• ఒక వృత్తం సమబాహు త్రిభుజం చెక్కి ఉంటే, దాని వ్యాసార్థం (ఒక x √3) ఉంటుంది: 6;
• (A2 x √3): రేఖాగణిత ఫిగర్ ప్రాంతంలో సూత్రం ద్వారా లెక్కిస్తారు 4.

గురు త్రిభుజం

నిర్వచనం ప్రకారం, ఒక గురు కోణ త్రిభుజం, దాని మూలలు ఒకటి 90 180 డిగ్రీల మధ్య ఉంటుంది. కానీ పదునైన రేఖాగణిత ఆకారం ఇతర రెండు కోణాలు, వారు 90 డిగ్రీల దాటలేదని నిర్ధారించారు చేయవచ్చు వాస్తవం ఇచ్చిన. అందువలన, ఒక త్రిభుజం సిద్ధాంతం కోణాల మొత్తాన్ని ఒక గురు త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం లెక్కించడంలో పనిచేస్తుంది. కాబట్టి, మేము సురక్షితంగా త్రిభుజము యొక్క గురు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు కాగా పైన సిద్దాంతం మీద ఆధారపడి, చెప్పగలను. మళ్ళీ, ఈ సిద్ధాంతం తిరిగి ప్రూఫ్ అవసరం లేదు.